Question

设f（x）=为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）＞恒成立，等价于f（x）-＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）-，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由，得（x-1）（1-ax）＞0．
令（x-1）（1-ax）=0，得x1=1，x2=，∴=-1，解得a=-1．
令u（x）==1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），
则u（x1）-u（x2）=，
∵1＜x1＜x2，∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0，
∴u（x1）-u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．
∴u（x）=1+（x＞1）是减函数，
又为减函数，
∴f（x）=在（1，+∞）上为增函数．
（2）由题意知-＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）=-，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上为增函数，
又-在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=-=-，
∴m≤-，故实数m的范围是（-∞，-]．