Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到二面角．
证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．
又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，
又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O-xyz．
其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．
不妨设AB=2，则A（2，-1，0），B（0，-1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）．
=（-2，0，0），=（-2，1，），．
设=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则•=0，•=0，
即取z1=-1，得=（0，，-1）．
设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则•=0，•=0，
即取x2=，得=（，0，2）．
所以cos〈n1，n2＞==-．
因此二面角B-AC-A1的余弦值为-．