Question

设圆F以抛物线P：y²=4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．
（I）求圆F的方程；
（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程．

Answer

（I）设出圆F的方程，利用圆与抛物线P有且只有一个公共点，求出圆的半径，即可得到圆的方程；
（Ⅱ）设过点M（-1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T，连接TF，推出∠TMF=30°，通过直线MT与抛物线的两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），利用韦达定理求解|AB|，点E到直线AB的距离，求出圆E的半径R，即可求出圆E的方程．
【解析】
（Ⅰ）设圆F的方程为（x-1）2+y2=r2（r＞0）．
将y2=4x代入圆方程，得（x+1）2=r2，所以x=-1-r（舍去），或x=-1+r．
圆与抛物线有且只有一个公共点，
当且仅当-1+r=0，即r=1．
故所求圆F的方程为：（x-1）2+y2=1．…（4分）                           
（Ⅱ）设过点M（-1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T．
连接TF，则TF⊥MF，且TF=1，MF=2，所以∠TMF=30°．…（6分）
直线MT的方程为x=y-1，与y2=4x联立，得y2-4y+4=0．
记直线与抛物线的两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则
y1+y2=4，y1y2=4，x1+x2=（y1+y2）-2=10．…（8分）
从而AB的垂直平分线的方程为y-2=-（x-5）．
令y=0得，x=7．由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E（7，0）．…（10分）
|AB|===8．
又点E到直线AB的距离d==4，所以圆E的半径R==4．
因此圆E的方程为（x-7）2+y2=48．…（12分）