Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD²-DE²=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

Answer

（I）由D是的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD2=DE×DB，进而得到CD2-DE2=AE×EC
（II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小
【解析】
（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CED，
∴=，
∴CD2=DE×DB，
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
∴CD2-DE2=AE×EC．…（6分）
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，
∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）