Question

选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C_l的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的参数方程为为参数）．
（I）当时，求曲线C_l与C₂公共点的直角坐标；
（II）若，当α变化时，设曲线C₁与C₂的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．

Answer

（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），利用中点坐标公式得M点轨迹的极坐标方程，由极坐标方程即可看出其是什么类型的曲线．
【解析】
（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-2x=0．①
当α=时，曲线C2的普通方程为y=x．②
由①，②得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程为（0，0），（1，1）．…（4分）
（Ⅱ）C1是过极点的圆，C2是过极点的直线．
设M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），则2ρ=2cosθ．…（7分）
故点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ（θ≠）．
它表示以（，0）为圆心，以为半径的圆，去掉点（0，0）．…（10分）