Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意可得，解出即可；
（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l的斜率存在时，利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式即可求得此时直线方程；当直线斜率不存在时，求出点A、B坐标，检验即可；
【解析】
设椭圆方程为．                          
（Ⅰ）由已知可得．                     
∴所求椭圆方程为．                           
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，两式相减得：．
∵P是AB的中点，∴，，
代入上式可得直线AB的斜率为，
∴直线l的方程为2x-4y+3=0．
当直线l的斜率不存在时，将代入椭圆方程并解得，，
这时AB的中点为，∴不符合题设要求．
综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．