Question

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x-a|，a∈R．
（I）当-1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．

Answer

（I）当-1≤x≤3时，f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．由此建立关于a的不等关系能求出a的取值范围．
（II）根据绝对值不等式的性质得|x-2a|+|x|最小值就是2|a|，若f（x-a）+f（x+a）≥1-2a对x∈R恒成立，则只要满足2|a|≥1-2a，由此能求出实数a的最小值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．
依题意，
由此得a的取值范围是[0，2]．…（4分）
（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|．…（6分）
当且仅当（x-2a）x≤0时取等号．
解不等式2|a|≥1-2a，得a≥．
故a的最小值为．…（10分）