Question

如图，已知平行六面体ABC-A₁B₁C₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？

Answer

（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明CO1⊥平面ABCD，因为A1在底面ABCD上的射影为O，从而可证明在平行四边形ACC1A1中，CO1∥A1O．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，易证EG⊥平面AC，要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需证明GF⊥BC，而FG∥AB，由比例关系可求得F点位置．
解．（1）∵平行六面体底面为正方形，∴A1A∥CC1，∴A1C1∥AC，
又O1，O分别为上下底面中心，∴A1O1∥CO，A1O1=CO，
∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴CO1∥A1O．
A1在底面ABCD射影为O，∴A1O⊥平面AC，所以CO1⊥平面AC，
又CO1⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A1O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需GF⊥BC，
∵底面ABCD为正方形，∴FG∥AB，
由A1E=AE，则OG=AG，∴====，
∴F为BC的三等分点，靠近B．