Question

已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=-x即可求证；
（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；
（3）由题意f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要f（x）的最大值小于m2-2am+1即可，从而求出m的范围；
【解析】
（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x1＜x2≤1，
则有f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
（3）f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，f（x）max=f（1）=1，使f（x）＜m2-2am+1对所有
x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m2-2am+1＞1，即m2-2am＞0
令g（a）=m2-2am=-2am+m2，
要使g（a）＞0恒成立，则，
∴m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）；