Question

已知椭圆C₁：=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

Answer

先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2-b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论
【解析】
由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C1的半焦距c=，于是得a2-b2=5   ①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，
由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，
由题得：2x=，所以    ③
由②③得a2=11b2  ④
由①④得a2=5.5，b2=0.5  
故选C