Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．
（ I）确定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

Answer

（Ⅰ）⊥⇔，对此式进行化简得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；
（Ⅱ）先由三角形的面积之间的关系S△ABC=S△ABD+S△BCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得：=，对x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范围，进而可求出AC2的取值范围．
【解析】
（ I）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
在△ABC中，由正弦定理得：，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得
k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，
∴，解得B=．
（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，，，，
∴xy=x+y，
∴．
在△ABC中，由余弦定理得：
=x2+y2+xy=（x+y）2-xy=（x+y）2-（x+y）=．
∵，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，
∴，∴．
∴AC的取值范围是：．