Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n=a_n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项a_n；
（2）记b_n=，T_n是数列{b_n}的前n项和，求证：T_n-2n＜3．

Answer

（1）利用数列递推式代入计算，可求a2，a3，再写一式，两式相减，再利用叠乘法，即可求数列{an}的通项an；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
（1）【解析】
n=2时，S2=a2，∵a1=1，∴1+a2=a2，∴a2=3；
n=3时，S3=a3，∴4+a3=a3，∴a3=6；
∵Sn=an，∴n≥2时，Sn-1=an-1，
两式相减可得an=an-an-1，
∴
∴an=a1••…•=．
（2）证明：，
∴，
∴．