Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，，．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面QBM，求的值；
（3）若，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer

（1）利用面面垂直的性质，可得线面垂直，再利用面面垂直的判定，可得结论；
（2）利用线面平行，可得线线平行，从而可得比值；
（3）连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，证明二面角M-BQ-C的平面角为∠MGF，即可求得结论．
（1）证明：∵DQ∥BC且DQ=BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴BQ∥CD，
∵CD⊥AD，∴BQ⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）【解析】
设AC∩BQ=E，∵PA∥平面QBM，∴PA∥ME，∴．
（3）【解析】
连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，
∵MF⊥CQ，PQ⊥CQ，∴PQ∥MF，
∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴MF⊥平面ABCD，
∵FG⊥BQ，∴BQ⊥MG，∴二面角M-BQ-C的平面角为∠MGF，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴二面角M-BQ-C的大小为．