Question

已知函数
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若恒成立，求实数ab的最大值．

Answer

（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．
【解析】
（1）求导数可得，f′（x）=
∵x=1是函数f（x）的极大值点，
∴0＜a＜1
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；
（2）∵恒成立，
∴alnx-x+b≤0恒成立，
令g（x）=alnx-x+b，则g′（x）=
∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减
∴g（x）max=g（a）=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna，∴ab≤a2-a2lna
令h（x）=x2-x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1-2lnx）
∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减
∴h（x）max=h（）=，∴ab≤
即ab的最大值为．