Question

已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）以双曲线的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer

（1）利用椭圆、双曲线的标准方程及其性质即可得出；
（2）①利用点在椭圆上、斜率计算公式即可证明；
②利用①的结论、斜率计算公式、基本不等式的性质即可求出．
【解析】
（1）易知双曲线的焦点为（-2，0），（2，0），离心率为，
则在椭圆C中a=2，e=，故在椭圆C中c=，b=1，∴椭圆C的方程为．
（2）①设M（x，y）（x≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则kMA=，kMB=，
∴kMA•kMB==，
∵点M在椭圆C上，∴，即=-，故kMA•kMB=，即直线MA，MB的斜率之积为定值．    
②设P（4，y1），Q（4，y2），则kMA=kPA=，kMB=kBQ=，
由①得，即y1y2=-3，当y1＞0，y2＜0时，|PQ|=|y1-y2|≥2=2，当且仅当y1=，y2=-时等号成立．
同理，当y1＜0，y2＞0时，当且仅当y1=-，y2=时，|PQ|有最小值2．