Question

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若，求满足条件的所有实数x的集合．

Answer

（1）由题意可得2f（-x）+f（x）-3•2sin（-x）=0，联立消去f（-x），可得函数解析式；
（2）可判函数单调递增，用单调性的定义法可证明；
（3）由（2）可知函数在上单调递减，周期为2π，进而可得sinx=，由三角函数的值可解．
【解析】
（1）∵2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3•2sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得；
（2）f（x）在上单调递增，
证明：任意，设x1＜x2，则

因为，所以sinx1＜sinx2，
所以，又，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2sinx，则t∈（0，2]，由，解得或（舍）．
所以，，
故，或．
故满足条件的所有实数x的集合为．