Question

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．
（I）当时，求直路l所在的直线方程；
（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

Answer

（Ⅰ）求当时，直路l所在的直线方程，即求抛物线在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；
（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极大值，也就是最大值．
【解析】
（I）∵，∴y′=-x，
∴过点M（）的切线的斜率为-t，
所以，过点M的切线方程为，即．
当t=时，切线l的方程为．
即当时，直路l所在的直线方程为；
（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为，
令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），
令x=2，得y=，故切线l与线段BC交点为G（）．
地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，

设其面积为f（t），
∴=
=（0＜t＜2）．
，
∴当t∈（0，）时，f′（t）＞0，f（t）为单调增函数，
当t∈时，f′（t）＜0，f（t）为单调减函数．
∴当t=时，f（t）的极大值（最大值）为．
∴当点M到边OA距离为米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为平方米．