Question

已知函数f（x）=lnx+b•x²的图象过点（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若为实数）恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer

（I）带点可得b=0，进而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）恒成立，即，由x＞0可得t≤2xlnx，构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤hmin（x）即可，求导数可得其最小值；
（Ⅲ）可得，求导数，令其为0可得x=m，或x=，分（1）（2），且m＜，（3），或三种情况讨论．
【解析】
（I）∵函数f（x）=1nx+b•x2的图象过点（1，0），
∴0=ln1+b•12，解得b=0，∴f（x）的解析式为f（x）=1nx；
（Ⅱ）恒成立，即，由x＞0可得t≤2xlnx，
构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤hmin（x）即可，
可得h′（x）=2（lnx-1），故当x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
故hmin（x）=h（）=，故t≤；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，，（x＞0）
∴=，令其为0可得x=m，或x=，
（1）当时，m=1，F′（x）＞0，函数在（0，2）为增函数，无极值点；
（2）当，且m＜，即＜m＜1时，可知函数有两个极值点；
（3）当，或，即0＜m＜，或m＞2时，可知函数有一个极值点．