Question

已知，设
（1）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求函数g（x）的解析式；
（2）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）利用向量的坐标运算与三角函数间的关系式可求得f（x）=sin2x+2sinx，由f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，可求得函数g（x）的解析式；
（2）依题意可求得h（x）的解析式，利用h′（x）≥0在[-，]恒成立即可求得实数λ的取值范围．
【解析】
（1）∵-=（-2cosx，2sin-2cos），|-|=4cos2x+=4cos2x+4-4sinx，
∴f（x）=2+sinx-cos2x-1+sinx=sin2x+2sinx…（3分）
设（x，y）为g（x）图象上任意一点，则（-x，-y）为f（x）图象上的点，
∴-y=sin2（-x）+2sin（-x）=sin2x-2sinx，
∴y=-sin2x+2sinx即g（x）=-sin2x+2sinx…（6分）
（2）h（x）=-sin2x+2sinx-λ（sin2x+2sinx）+1
=（-1-λ）sin2x+（2-2λ）sinx+1，…（8分）
h'（x）=-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx，
∵h（x）在[-，]上是增函数
∴h′（x）≥0在[-，]恒成立，
即-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx≥0，当x=±时，不等式恒成立
当x∈（-，）时，cosx＞0，
∴-2（1+λ）sinx+2-2λ≥0即λ≤=-1+，…（10分）
∵sinx∈（-1，1）
∴-1+∈（0，+∞），
∴λ≤0   …（12分）