Question

如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

Answer

（1）根据圆锥的底面半径为2、高为6，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6-3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；
（2）由（1）可得圆柱的侧面积S侧=6π（2x-x2），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．
【解析】
（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x
因此，内接圆柱的高 h=6-3x；
∴圆柱的体积V=πx2（6-3x） （0＜x＜2）---------------------------（6分）
（2）由（1）得，圆柱的侧面积为
 S侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x2）  （0＜x＜2）
令t=2x-x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π
∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．------------------------------（7分）