Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sin x是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值及λ的范围．
（2）讨论关于x的方程=x²-2ex+m的根的个数．

Answer

（1）利用f（x）是在R上的奇函数，求出a的值，利用g（x）在[-1，1]上单调递减，则导数小于等于0，由此可求λ的范围．
（2）构造函数，求出函数的最值，比较最值之间的关系，即可得到结论．
【解析】
（1）∵f（x）是在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴ln（1+a）=0，∴a=0．
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴x∈[-1，1]时，g′（x）=λ+cos x≤0恒成立
∴λ≤-1，
（2）由（1）知f（x）=x，∴方程为=x2-2ex+m，
令f1（x）=，f2（x）=x2-2ex+m，
∵f′1（x）=
当x∈（0，e）时，f′1（x）＞0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′1（x）＜0，∴f1（x）在（e，+∞）上为减函数；
∴当x=e时，[f1（x）]max=f1（e）=．
而f2（x）=（x-e）2+m-e2
∴当m-e2＞时，即m＞e2+时方程无解．
当m-e2=时，即m=e2+时方程有一解．
当m-e2＜时，即m＜e2+时方程有两解．