Question

下列命题正确的序号为    ．
①若等差数列{a_n}前n项和为S_n，则三点（10，）、（100，）、（110、）共线；
②若数列{a_n}为等比数列，则数列{log₂a_n}为等差数列；
③等比数列{a_n}的前n项和，则a=-1；
④若数列{a_n}前n项和S_n满足S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则{a_n}是等比数列．

Answer

利用等差数列与等比数列的概念、求和公式可判断①②③④四个命题的正误．
【解析】
①∵等差数列{an}前n项和为Sn，=na1+，
∴=（a1-）+n，
∴数列{}关于n的一次函数（d≠0）或常函数（d=0），故（10，）、（100，）、（110、）共线，正确；
②不妨令an=-1，数列{an}为等比数列，但log2an为无意义，故②错误；
③依题意，a1=2+a，a2=（22+a）-（2+a）=2，a3=（23+a）-（22+a）=4，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴=a1•a3，即4=4（2+a），解得a=-1．故③正确；
④∵Sn+1=a1+qSn，
∴Sn+2=a1+qSn+1，
两式相减得：an+2=qan+1，即=q；
又S2=a1+a2=a1+a1q，
∴=q，
∴{an}是等比数列，故④正确．
故答案为：①③④．