Question

已知数列{a_n}前n项和，
（Ⅰ）证明数列是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}是否存在最大值项，若存在，说明是第几项，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|，试比较的大小．

Answer

（Ⅰ）由，得，两式相减可得数列递推式，借助该递推式可计算为常数，由等差数列定义即可证明为等差数列，从而可求得，进而求得an；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出bn，据其通项可判断数列{bn}各项符号，通过作商可判断数列的单调性，由单调性即可判断其最大值项；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求得Sn，从而得|Sn|，由错位相减法可求出Tn，进而得到，由（Ⅰ）易求，两者大小关系容易判断；
【解析】
（Ⅰ）由①，得②，
②-①得，an+1=2an+1-2an+2n，即，
则===-1，为常数，
所以数列是等差数列，且公差为-1，
由S1=2a1+2解得a1=-2，
所以=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，==（2011-n）•2n-1，
则，当n=2011时，bn=0，
当n＞2011时，bn＜0，令=≥1，得n＞2011，所以bn＞bn+1，即b2012＞b2013＞…，
当n≤2010时，bn＞0，令=≥1，解得n≤2009，
所以n≤2009时，bn+1≥bn，所以0＜b1＜b2＜b3＜…＜b2009=b2010，
综上，b1＜b2＜b3＜…b2012＞b2013＞…，
所以数列{bn}存在最大值项，为第2009项或2010项；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，=2[-（n+1）•2n-1]+2n=-n•2n，
所以|Sn|=n•2n，
则Tn=|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①，
2Tn=22+2•23+3•24+…+n•2n+1②，
①-②得，-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1==（1-n）•2n+1-2，
所以Tn=（n-1）•2n+1+2，
所以==（n-2）•2n-1+1，
又==（n-2）•2n-1，
所以．