(Ⅰ)救出函数的导数,再利用f(1)=0以及f′(1)=2建立方程组,联解可得a,b的值;
(Ⅱ)转化为证明函数y=f(x)-(2x-2)的最大值不超过0,用导数工具讨论单调性,可得此函数的最大值.
【解析】
(Ⅰ)f'(x)=1+2ax+,
由已知条件得:,即
解之得:a=-1,b=3
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知f(x)=x-x2+3lnx,
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则
=
当时0<x<1,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0
所以在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0
即当x>0时,函数g(x)≤0
∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立