Question

已知函数f（x）=x+4+4 （x≥0），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列．
（1）求证：数列{}为等差数列；   （2）若c_n=•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由函数f（x）的解析式及已知条件可得 -=2（n∈N*），从而得到数列{ }是以 =1为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（Ⅰ）得an=（2n-1）2，由条件求得 bn=，cn=•bn=（2n-1）•，化简Sn为 [1+3+5+…+（2n-1）-（+++…+）]．令Tn=+++…+，用错位相减法求得Tn的值，即可求得Sn的值．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x+4+4= （x≥0），
∴an+1=f（an）=，即 -=2 （n∈N*）．
∴数列{ }是以 =1为首项，公差为2的等差数列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得：=1+（n-1）2=2n-1，即 an=（2n-1）2 （n∈N*）．…（5分）
b1=1，当n≥2时，bn-bn-1=，∴bn=b1+（ b2-b1）+（ b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn-bn-1）
=1+++…+=，因而 bn=，n∈N*．…（7分）
∴cn=•bn=（2n-1）•，∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=[1+3+5+…+（2n-1）-（+++…+）]．
令Tn=+++…+  ①，则 Tn=+++…++  ②…（9分）
①-②，得 Tn=+2（+++…+）-=+（1-）-，…（10分）
∴Tn=1-．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n2．…（11分）
∴Sn= （n2-1+ ）．…（12分）