Question

定义：若对定义域D内的任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂）均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，则称函数y=f（x）是D上的“平缓函数”．
（1）h（x）=x²-x是否为R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）试证明对∀k∈R，f（x）=x²+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（3）若数列{x_n}，∀n∈N^*中，总有|x_n+1-x_n|≤，若y=sinx为“平缓函数”，求证|y_n+1-y₁|＜1．．

Answer

（1）取x1=3，x2=1，则|h（x1）-h（x2）|=4＞|x1-x2|，即可得到结论；
（2）区间（-1，1）上的任意两个x1，x2，|f（x1）-f（x2）|=|x1+x2+k||x1-x2|，分类讨论，即可得到结论；
（3）利用y=sinx是R上的“平缓函数”，可得|yn+1-yn+1|≤|xn+1-xn|≤＜（），因此可得结论．
（1）【解析】
取x1=3，x2=1，则|h（x1）-h（x2）|=4＞|x1-x2|，因此h（x）=x2-x不是R上的“平缓函数”；
（2）证明：区间（-1，1）上的任意两个x1，x2，|f（x1）-f（x2）|=|x1+x2+k||x1-x2|，
若k≥0，则当x1，x2∈（，1）时，x1+x2+k＞1，从而|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|；
若k＜0，则当x1，x2∈（-1，-）时，x1+x2+k＜-1，∴|x1+x2+k|＞1，从而|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|，
∴∀k∈R，f（x）=x2+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（3）证明：∵y=sinx是R上的“平缓函数”，
∴|yn+1-yn+1|≤|xn+1-xn|≤＜（）
∴|yn+1-y1|＜[（）+（）+…+（1-）]=＜
∴|yn+1-y1|＜1．