Question

函数f（x）=-ax³1nx+3x³-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．
（1）求实数a的值；
（2）若对∀x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）由f′（x）=-a（3x2lnx+x2）+9x2和f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，知f′（1）=0，由此能求出a．
（2）由（1）知f′（x）=-27x2lnx，x＞0，由此求出f（x）max=f（1）=3-4b．由对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，知3-4b-4b2≤0，由此能求出b的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=-ax3lnx+3x3-4b，
∴f′（x）=-a（3x2lnx+x2）+9x2，
∵f（x）=-ax3lnx+3x3-4b在x=1处取得极值，
∴f′（1）=-a+9=0，解得a=9．
（2）由a=9，知f′（x）=-27x2lnx，x＞0，
令f′（x）=0，解得x=1．
∵0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1），
∴f（x）max=f（1）=3-4b．
∵对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，
∴3-4b-4b2≤0，
解得b≤-，或b．
∴b的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．