Question

设T_n为数列{a_n}的前n项乘积，满足
（1）设，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设•b_n，求证数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设，求证：．

Answer

（1）由Tn=1-an，，n≥2，知，从而=1，由此能证明数列{bn}是等差数列．
（2）由（1）知bn=2+（n-1）=n+1，从而cn=（n+1）•2n，故Sn=2•2+3•22+…+（n+1）•2n，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Sn．
（3）由，知n≥2时，，由，知，由此利用放缩法能够证明．
【解析】
（1）∵Tn=1-an，，n≥2，
∴，从而=1，（n≥2）
∴bn-bn-1=1，（n≥2）
∵T1=a1=1-a1，
∴，，
∴{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知bn=2+（n-1）=n+1，从而cn=（n+1）•2n，
∴Sn=2•2+3•22+…+（n+1）•2n，
2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，
两式相减，得-Sn=4+（22+23+…+2n）-（n+1）•2n+1
=4+-（n+1）•2n+1
=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
（3）∵，
∴n≥2时，，
∵，∴，

=
＞
=++…+
=
=，
∴，
又∵当n≥2时，
=
=+
=
==，
．