Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值；
（3）求点B到平面PAC的距离．

Answer

（1）利用等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）利用（1）的结论和二面角的定义即可得出；
（3）利用“等积变形”VP-ABC=VB-PAC，即可得出．
（1）证明：∵N是PB的中点，PA=AB，
∴AN⊥PB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AD，
∵∠BAD=90°，即BA⊥AD，
又BA∩AP=A，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB，
∵M、N为中点，∴MN∥BC，
又BC∥AD，∴MN∥AD，
即A、D、M、N共面                                      
又AD∩AN=A，且AD，AN在平面ADMN内，
∴PB⊥平面ADMN，故PB⊥DM．
（2）由（1）知，AD⊥平面PAB，∴AN⊥AD，又AB⊥AD，
∴∠BAN是平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的平面角．
在直角三角形PAB中，PB===．
∵N直角三角形PAB斜边PB的中点，∴AN=．
在直角三角形NAB中，．
即平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值为．
（3）由已知得，                 
==．
  设点B到平面PAC的距离为h，
则==．
由VP-ABC=VB-PAC，即，得，
即点B到平面PAC的距．