Question

已知两圆C₁：x²+y²-2x=0，C₂：（x+1）²+y²=4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且|PC₁|+|PC₂|=2．
（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|可知动点P的轨迹是以C1和C2为焦点、长轴长为2a=的椭圆，从而易求椭圆方程即所求轨迹方程；
（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x-2），联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则有△＞0，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x，y），求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=-1，解出方程的解k，再检验是否满足△＞0即可；
【解析】
（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2（-1，0），
∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|，
∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C1（1，0）和C2（-1，0）为焦点，长轴长为2a=的椭圆，
所以a=，c=1，b===1，
∴椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为；
（2）假设存在这样的直线l满足条件，
当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．
当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
由方程组得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0①，
依题意△=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-＜k＜，
当-＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x，y），
方程①的解为，，则=，
∴y=k（x-2）=k（-2）=，
要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=-1，
∴k=-1，化简得0=-1，显然不成立；         
所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；