Question

已知函数，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先对函数f（x）求导，再令x=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）函数f（x）在（1，2）上单调递增⇔f′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立⇔在区间（1，2）上恒成立⇔a≥，x∈（1，2），解出即可．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴f′（x）=x2+（a+2）x+a．
∵f′（0）=-2，∴a=-2．
∴，f′（x）=x2-2．
令f′（x）=0，解得．
列表如下：
由表格可以看出：当时，f（x）极大值==；
当x=时，f（x）极小值==．
（Ⅱ）∵函数f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f′（x）=x2+（a+2）x+a≥0在区间（1，2）上恒成立．
亦即在区间（1，2）上恒成立．
令g（x）=-，则g′（x）=-=-＜0，
∴函数g（x）在x∈（1，2）上为减函数，而函数g（x）在x=1时连续，
∴g（x）＜g（1）=-．
故a．