Question

设P是椭圆上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16

Answer

根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F1（-3，0）、F2（3，0）．由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=10，△PF1F2中用余弦定理得到|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos30°=36，两式联解可得|PF1|•|PF2|=64（2-），最后根据三角形面积公式即可算出△PF1F2的面积．
【解析】
∵椭圆方程为，
∴a2=25，b2=16，得a=5且b=4，c==3，
因此，椭圆的焦点坐标为F1（-3，0）、F2（3，0）．
根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=10
∵△PF1F2中，∠F1PF2=30°，
∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos30°=4c2=36，
可得（|PF1|+|PF2|）2=36+（2+）|PF1|•|PF2|=100
因此，|PF1|•|PF2|==64（2-），
可得△PF1F2的面积为S=•|PF1|•|PF2|sin30°=
故选：B