Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1的导函数 为f′（x），f′（0）＞0，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

Answer

首先对f（x）求导，得出f′（x）=2ax+b，再利用f′（0）＞0，可得出b＞0；利用f（x）与x轴恰有一个交点，可得出△=0，得到a与b的关系式，即可用a表示b，从而得出的关于b表达式，再利用基本不等式即可求出其最小值．
【解析】
∵f（x）=ax2+bx+1，∴f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b，又f′（0）＞0，∴b＞0．
又已知f（x）与x轴恰有一个交点，∴△=b2-4a=0，∴，∴f（1）=a+b+1=．
∴==≥=1+1=2．当且仅当，即b=2时取等号，
∴的最小值为2．
故选A．