Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，BC=BB₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁⊥平面AB₁C；
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD．

Answer

（1）BC1⊥平面AB1C，即要证BC1与平面AB1C内两条相交直线均垂直，结合已知、直棱柱的几何特征及正方形的性质，可证得结论．
（2）要证BC1∥平面CA1D，必须证明BC1∥平面CA1D内的一条直线，因而连接AC1与A1C的交点E与D，证明即可．
证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱
∴CC1⊥平面ABC；
又∵AC⊂平面ABC
∴CC1⊥AC
又∵AC⊥BC，CC1∩BC=C
∴AC⊥平面B1C1CB
又∵B1C⊂平面B1C1CB
∴B1C⊥AC
又∵BC=BB1，
∴平面B1C1CB为正方形，
∴B1C⊥BC1，又∵B1C∩AC=C
∴BC1⊥平面AB1C；
（2）连接BC1，连接AC1于E，连接DE，E是AC1中点，
D是AB中点，则DE∥BC1，
又DE⊂面CA1D1，BC1⊄面CA1D1
∴BC1∥面CA1D