Question

设函数f（x）=x²-2acos[（k-1）π]lnx （k∈N^*，a∈R）．
（1）若k=2011，a=1，求函数f（x）的最小值；
（2）若k是偶数，求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最小值；
（2）当k是偶数时，f（x）=x2-2alnx，求导函数，对a进行分类讨论：当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，利用导数的正负可得结论．
【解析】
（1）因为k=2011，a=1，所以f（x）=x2-2lnx，f′（x）=，
由f′（x）＞0得x=1，且当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数．
故f（x）min=f（1）=1．（5分）
（2）当k是偶数时，f（x）=x2-2alnx，f′（x）=，
所以当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；（9分）
当a＜0时，由f′（x）=0得x=，且当x＞时，f′（x）＞0，当x＜时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）上是减函数，f（x）在（，+∞）上是增函数．（13分）
综上可得当a＞0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）．（14分）