Question

（理） 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer

（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f′（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，故x2-3x+lnx+b=0，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g（x），g（x）的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论．
【解析】
（1）f′（x）=1-，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x2+b    
∴x-lnx+2x=x2+b，∴x2-3x+lnx+b=0
设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）=
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表

 x  （0，）    （，1）  1  （1，2）  2
 g′（x） +  0 -  0 +  
g（x） ↗  极大值 ↘  极小值 ↗  b-2+ln2

∴当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根
∴，∴，∴+ln2≤b≤2