Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1；
（1）求f（1）、f（3）的值．
（2）如果f（x+2）+f（x-2）≥-2，求x的取值范围．

Answer

（1）采用赋值法，令x=y=1可求得f（1），同理可求得f（3）的值．
（2）利用函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，与f（xy）=f（x）+f（y），将f（x+2）+f（x-2）≥-2转化为关于x的一元二次不等式，解之即可．
【解析】
（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），x，y∈（0，+∞），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
∵f（）=1，
∴f（1）=f（3×）=f（3）+f（）=0，
∴f（3）=-f（）=-1．
（2）∵f（3）=-1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（3×3）=f（3）+f（3）=-2．
∵f（x+2）+f（x-2）≥-2=f（9），
函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴（x+2）（x-2）≤9且x+2＞0，x-2＞0同时成立．
解得：2＜x≤．
∴x的取值范围是（2，]．