Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（4m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用幂函数的定义和单调性即可得出；
（2）利用二次函数的对称轴与0，1的大小关系和其单调性即可解出．
【解析】
（1）∵幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增，
∴（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又∵k∈Z，∴k=0或1．
当k=0或1时，（2-k）（1+k）=2，
∴幂函数f（x）=x2；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx2+（4m-1）x+1，
∵m＞0，∴-m＜0，g（x）=．
①当≤0，m＞0时，解得，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；
②当，m＞0时，解得，则g（x）在[0，1]上单调递增，因此在x=1处取得最大值，∴g（1）=5，即3m=5，解得，满足条件；
③当，m＞0时，解得，则g（x）在处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即3m=5，解得，不满足m的范围．
综上可知：满足条件的m存在且．