Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e²，+∞]上为增函数，求a的取值范围；
（II）若对任意恒成立，求实数m的最大值．

Answer

（I）函数g（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，即当x∈[e2，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e2，+∞）上恒成立，分离参数a后转化为求函数最值；
（II）对任意恒成立，即m≤，令h（x）=，转化为求函数h（x）的最小值即可，利用导数可求得其最小值．
【解析】
（I）由题意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1，
∵函数g（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，
∴当x∈[e2，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e2，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx，
又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），
∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（II）因为2f（x）≥-x2+mx-3，即mx≤2x•lnx+3+x2，
又x＞0，所以m≤，令h（x）=，
h′（x）==，
令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍），
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）min=h（1）=4，
   因为对任意恒成立，
所以m≤h（x）min=4，即m的最大值为4．