Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，定义所有满足c_m•c_m+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c_n}的变号数，求数列{c_n}的变号数．

Answer

（Ⅰ）由二次函数f（x）=x2-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点可通过△=a2-4a=0求出a值，从而求得Sn=n2-4n+4，最后根据通项与前n项和的关系求解．
（Ⅱ）将（I）的结论代入，可得根据cm•cm+1＜0可知，当n≥5时，恒有an＞0，前四项求出，则易得变号的数．
【解析】
（Ⅰ）依题意，△=a2-4a=0⇒a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x2-4x+4
∴Sn=n2-4n+4
当n=1时，a1=S1=1-4+4=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5
∴（6分）
（Ⅱ）由题设
由可知，
当n≥5时，恒有an＞0（8分）
又c1=-3，c2=5，c3=-3，
即c1•c2＜0，c2•c3＜0，c4•c5＜0
所以，数列{cn}共有三个变号数，即变号数为3．（12分）