Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．
（Ⅰ）若S_n=35，求n的值；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

Answer

（Ⅰ）已知等比数列{an}中，设出公比为q，根据等比数列通项公式，代入a2=2，a5=128，求出公比，再利用等比数列的前n项和公式，代入Sn=35，求出n值；
（Ⅱ）因为bn=log2an，将an代入bn，求出其通项公式，代入不等式Sn＜2bn求出n的范围；
【解析】
（Ⅰ）∵a2=a1q=2，a5=a1q4=128得q3=64，
∴q=4，a1=
∴an=a1qn-1==22n-3，∴bn=log2an=log222n-3=2n-3
∵bn+1-bn=[2（n+1）-3]-（2n-3）=2
∴{bn}是以b1=-1为首项，2为公差数列；
∴Sn==35，即n2-2n-35=0，可得（n-7）（n+5）=0，
即n=7；
（Ⅱ）∵Sn-bn=n2-2n-（2n-3）=n2-4n+3＜0
∴3-＜n＜3+，∵n∈N+，
∴n=2，3，4，即所求不等式的解集为{2，3，4}；