Question

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；
（2）求证：是一个定值．

Answer

（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；
（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
（1）【解析】
∵直线L的斜率为1且过点F（1，0），∴直线L的方程为y=x-1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得x2-6x+1=0，△＞0，
∴x1+x2=6，x1x2=1．
∴|AB|=x1+x2+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立消去x得y2-4ky-4=0．△＞0，
∴y1+y2=4k，y1y2=-4，
设A=（x1，y1），B=（x2，y2），则，．
∴=x1x2+y1y2=（ky1+1）（ky2+1）+y1y2
=k2y1y2+k（y1+y2）+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3．
∴=-3是一个定值．