Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₃+a₇=18，且a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2^n-1•a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由an-1+an+1=2an（n≥2）知，数列{an}是等差数列，设其公差为d，则，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）cn=（2n-1）•2n-1，Tn=c1+c2+…+cn=1×2+3×2+5×22+…+（2n-1）×2n-1，由错位相减法得-Tn=1+2（21+22+23++2n-1）-（2n-1）•2n，由此能求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由an-1+an+1=2an（n≥2）知，数列{an}是等差数列，
设其公差为d，（2分）
则，
所以，（4分）an=a1+（n-1）d=2n-1，
即数列{an}的通项公式为an=2n-1．（6分）
（Ⅱ）cn=（2n-1）•2n-1，
Tn=c1+c2+…+cn=1×2+3×2+5×22+…+（2n-1）×2n-1，
2Tn=1×21+3×22++（2n-3）×2n-1+（2n-1）×2n，
相减得-Tn=1+2（21+22+23++2n-1）-（2n-1）•2n，（9分）
整理得，
所以Tn=（2n-3）•2n+3．（12分）