Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（1）求证：A₁A⊥BC；
（2）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的余弦值．

Answer

（1）根据三垂线定理证明线线垂直即可；
（2）利用三垂线定理作二面角的平面角，再解三角形求解．
【解析】
（1）证明：连接AO，
A1O⊥面ABC，AO是A1A在面ABC的射影，∵AO⊥BC，
由三垂线定理，A1A⊥BC．
（2）由（1）知，∠A1AO为AA1与底面所成的角，∴∠A1AO=45° 
∵底面是边长为2的正三角形，∴AO=3
∴A1O=3，AA1=3
过O作OE⊥AC于E，连接A1E，由三垂线定理得A1E⊥AC，
∴∠A1EO为二面角A1-AC-B的平面角
∵OE=，∴tan∠A1EO==2，
cos∠A1EO=
即二面角A1-AC-B的余弦值为．