Question

给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F₂（，0），其短轴上的一个端点到F₂距离为．
（1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点P（0，m）（m＜0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，求m的值；
（3）过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，当直线l₁，l₂都有斜率时，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

Answer

（1）利用椭圆标准方程及其a、b、c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴椭圆”的方程；
（2）利用点到直线的距离公式、、及直线与椭圆相切的性质即可得出；
（3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴椭圆”的方程即可证明．
【解析】
（1）由题意可知：，a=，∴b2=a2-c2=1．
∴椭圆方程为：，；
∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x2+y2=4．
（2）设直线方程为：y=kx+m
∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，
∴圆心到直线的距离d=，
∵，∴d2=2，∴m2=2（1+k2）．（*）
又得（1+3k2）x2+6mkx+3m2-3=0，
∵直线l与椭圆相切，
∴△=1+3k2-m2=0，
把（*）代入上式得m2=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）设Q（x，y），直线y-y=k（x-x），
由（2）可知，
即，∴，
又∵Q（x，y）在“伴椭圆”上，∴，∴．
∴k1k2=-1为定值．