Question

若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．有下列函数：
；
③f（x）=lg（x²+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为    ．

Answer

根据集合M的定义，可根据函数的解析式，f（x+1）=f（x）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
【解析】
（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=∈M，则存在非零实数x，使得=
即x2+x+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=∉M．
（2）D=R，则存在实数x，使得=解得x=1，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=2x∈M．
（3）若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3
即2x2-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）∉M
④存在x=使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
综上可知②④中的函数属于集合
故答案为：②④