Question

若实数列{a_n}满足a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…），则称数列{a_n}为凸数列．
（Ⅰ）判断数列是否是凸数列？
（Ⅱ）若数列{a_n}为凸数列，k、n、m∈N₊，且k＜n＜m，
（i）求证：；
（ii）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：．

Answer

（Ⅰ）将代入ak+1+ak-1-2ak判定符号，从而确定数列{an}是否是凸数列；
（Ⅱ） （i）由ak-1+ak+1≥2ak（k=2，3，…）得ak+1-ak≥ak-ak-1，从而am-an≥（m-n）（an+1-an）则，同理可得an-ak≤（n-k）（an+1-an）即，从而证得结论；
（ii）由得（m-n）ak+（n-k）am≥（m-k）an①，先证是凸数列，由①得可得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴数列是凸数列．
证明（Ⅱ） （i）由ak-1+ak+1≥2ak（k=2，3，…）得
ak+1-ak≥ak-ak-1am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）≥（m-n）（an+1-an）
⇒，an-ak=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（ak+1-ak）≤（n-k）（an-an-1）≤（n-k）（an+1-an）
⇒，故．
（ii）由得（m-n）ak+（n-k）am≥（m-k）an．①
故先证是凸数列．
在（m-n）ak+（n-k）am≥（m-k）an中令m=n+1得ak+（n-k）an+1≥（n+1-k）an，令k=1，2，…，n-1，（n≥2）叠加得，⇒2Sn-1+n（n-1）（Sn+1-Sn）≥（n+2）（n-1）（Sn-Sn-1）
故是凸数列，由①得．