Question

已知x_i∈[0，10]（i=1，2，…，10），x₁，x₂，…，x₁₀的平均数为7.5，当取得最大值时，x₁，x₂，…，x₁₀这十个数中等于0的数的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据平均数为75，先将化成++…++62.5，从而有当取得最大值等价于x1，x2，…，x10的方差取得最大值，再根据方差的意义，从而x1，x2，…，x10中尽可能多地取0或10，分类讨论：①假设x1，x2，…，x10这十个数9个都取0或10，②假设x1，x2，…，x10这十个数都取0或10，即可求出答案．
【解析】
∵
=++…++62.5，
∴当取得最大值等价于x1，x2，…，x10的方差取得最大值，
根据方差的意义，从而x1，x2，…，x10中尽可能多地取0或10，
①假设x1，x2，…，x10这十个数9个都取0或10，设有n个0，9-n个10，
则75=x1+x2+…+x10，解得n=2.5不合题意；
②假设x1，x2，…，x10这十个数都取0或10，设有n个0，10-n个10，另一个为a，
则75=x1+x2+…+x10，0+10（9-n）+a=75，解得n=∈（1.5，2.5），
取n=2，a=5，此时方差最大，合题意．
故选C．