Question

已知圆，圆．点O为坐标原点，点M是圆C₂上的一动点，线段OM交圆C₁于N，过点M作x轴的垂线交x轴于M，过点N作MM的垂线交MM于P．
（1）当动点M在圆C₂上运动时，求点P的轨迹C的方程．
（2）设直线与轨迹C交于不同的两点，求实数m的取值范围．
（3）当时，直线l与轨迹C相交于A，B两点，求△OAB的面积．

Answer

（1）设出点P的坐标，可以表示出或设出点M，N的坐标，再根据点M，N分别在圆C2，C1上，即可用点P的坐标表示点M的坐标，用“代点法”即可得出；
（2）利用（1）的轨迹C的方程与直线方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由于直线l与轨迹C交于不同的两点，必须满足△＞0即可求出；
（3）利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出．
解（1）设点P（x，y）．则M（x，yM），N（xN，y）．从而
∵，∴．即．∴．
∵点M在圆C2上，∴．整理得点P的轨迹C的方程：．
（2）联立消y得到x2+2mx+5m2-20=0．
∵直线与轨迹C交于不同的两点，∴△=（2m）2-4（5m2-20）＞0，即m2＜5．
∴实数m的取值范围为．
（3）直线．设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立消x得到．
则．

=．
直线．设O到直线AB的距离为d，则d=．
．