Question

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=．
（I）求证：PA₁⊥B₁C₁；
（II）求证：PB₁∥平面AC₁D；
（III）求多面体PA₁B₁DAC₁的体积．

Answer

（I）要证PA1⊥B1C1，可以B1C1⊥平面A1PQ，只需要证明B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ，取B1C1的中点Q，连A1Q，PQ，即可证得；
（II）要证PB1∥平面AC1D，利用线面平行的判定，只需证明PB1平行于平面AC1D中的直线，连接BQ，可以证明四边形BB1PQ为平行四边形，从而得证；
（III）先求三棱锥P-A1B1C1的体积，再求多面体ABD-A1B1C1的体积，相加即得多面体PA1B1DAC1的体积．
证明：（I）取B1C1的中点Q，连A1Q，PQ
∵PB1=PC1，A1B1=A1C1，
∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ
∵A1Q∩PQ=Q
∴B1C1⊥平面A1PQ，∵PA1⊂平面A1PQ
∴PA1⊥B1C1；
（II）连BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点，∴PQ=1
∵BB1=AA1=1
∴BB1=PQ
在平面PBB1CC1中，BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1
∴BB1∥PQ
∴四边形BB1PQ为平行四边形
∴PB1∥BQ
∵BQ∥DC1
∴PB1∥DC1
∴PB1∥平面AC1D；
（III）三棱锥P-A1B1C1的体积为
多面体ABD-A1B1C1的体积为．
∴多面体PA1B1DAC1的体积为．